Детство будущего актёра было омрачено клеймом «сына врагов народа». Его отца — белорусского еврея Якова Ильича — расстреляли в годы репрессий, а мать — русифицированную чешку Евгению Эммануиловну — сослали в Казахстан. Четырнадцатилетнего Женю было решено отправить в детский дом, но с помощью давних друзей семьи мальчику удалось сбежать, прописаться в квартире родителей и устроиться подсобным рабочим в цех по проверке противогазов. О трагической судьбе своих родителей он впоследствии поставит спектакль «Чистка»…
В годы войны Евгений Весник отучился на артиллериста, а затем сражался на фронте до победного конца, получив множество боевых наград. С наступлением мирного времени Весник подал документы в Щепкинское училище, которое впоследствии успешно окончил. Его сценический путь начался в Театре Станиславского, а вскоре актёра пригласили в Театр Сатиры, где он стал первым в СССР исполнителем роли Остапа Бендера, которого потом сыграл больше шестисот раз. Однако настоящим вторым домом для Весника стал Малый театр, которому он посвятил тридцать лет жизни.
Евгений Весник был человеком многих талантов. В театре он проявил себя не только как актёр, но и как самобытный режиссёр. В кино сыграл больше 90 ролей, среди которых — учитель математики в «Приключениях Электроника», прокурор в «Летучей мыши», директор спорткомплекса в «Семь стариков и одна девушка». Работал на телевидении, озвучивал мультфильмы, выступал на эстраде. Из-под его пера вышло 20 сочинений и несколько сценариев для радио и телевидения. Он оставил после себя яркий след в искусстве, и не менее яркий след в сердцах близких людей.
С первой женой начинающий актёр Женя Весник познакомился ещё в стенах театрального училища. Предложение однокурснице Клавдии Шинкиной он сделал будучи студентом, а затем молодожёны вместе окончили Щепку и были приняты в труппу Театра Станиславского. Однако студенческий брак продлился недолго. Злые языки поговаривали, что ленинградец Весник женился не по любви, а из расчёта заполучить московскую прописку.
После развода молодой актёр с головой окунулся в новый бурный роман. Его избранницей стала знаменитая исполнительница цыганских романсов и танцовщица Ляля Чёрная, которая была старше на 14 лет. Она недавно овдовела и нашла утешение в объятиях молодого возлюбленного. Ляля уже была настоящей звездой в кругах московской богемы и познакомила начинающего актёра Весника с видными деятелями культуры и искусства.
Тем временем шла в гору карьера Евгения Весника в Театре Сатиры. За кулисами он познакомился с гримёром Никой Демидовой, которой было суждено стать его второй женой. Ника на тот момент была замужем, но актёра, казалось, это совершенно не смущает. Роман Весника с Лялей Чёрной уже сошёл на нет, когда Ника родила ему первенца — сына Евгения. Однако рождение ребёнка брак не спасло: спустя четыре года Евгений Весник-старший узнал о романе жены с хоккеистом.
Едва получив свидетельство о разводе, актёр снова отправился в ЗАГС. На этот раз его очаровала секретарь Управления дипломатического корпуса МИД Галина Зенкина. Вскоре у пары родился сын Антон, но, когда мальчику не было и года, отец ушёл из семьи.
Причиной скоропостижного развода оказался роман Евгения Весника с Нонной Каменевой. С ней актёр был знаком уже много лет — Нонна была вдовой его фронтового друга Нила Каменева. От первого брака у неё подрастала дочь Марина, которую Весник принял как родную и с которой у него сложились более близкие отношения, чем с кровными сыновьями. Именно Нонна стала верной спутницей Евгения Весника на всю оставшуюся жизнь. С ней он прожил больше сорока лет и её держал за руку в свой последний час.
Отношения актёра с сыновьями были напряженными. Евгений Весник-младший окончил экономический факультет МГУ, снялся в паре фильмов, занимался продюсированием и строительством. Какое-то время он работал директором киногруппы на киностудии имени Горького и участвовал в съёмках мелодрамы «Белый танец» — последнего фильма, где играл его отец. Евгений Весник-младший подарил знаменитому родителю трёх внуков, однако тот виделся с наследниками крайне редко. Младший сын актёра тоже рос без активного участия отца: впоследствии Антон Весник посвятил себя фотографии.
